Il rapporto tra
12 e 3 è 12:3 =4
il rapporto tra
8 e 2 è 8:2=4
Poiché i due rapporti sono uguali possiamo scrivere:
12:3 = 8:2
L’ugiaglianza scritta si chiama proporzione e si legge:
12 sta a 3 come 8 sta a 2
Diciamo che:
La proporzione è l’uguaglianza di due rapporti.
In altro modo:
Quattro numeri assegnati in un certo ordine formano una proporzione se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto fra il terzo ed il quarto.
Ad esempio, i numeri 6, 3, 8 e 4 nell’ordine dato formano una proporzione, perché il rapporto fra il primo e il secondo 6:3=2 è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto 8:4. Possiamo quindi scrivere:
6:3 = 8:4
I quattro numeri di una proporzione si chiamano termini della proporzione e precisamente 1°, 2°, 3° e 4° termine a cominciare da sinistra:
- antecedenti di una proporzione sono il 1° ed il 3° termine;
- conseguenti di una proporzione sono il 2° ed il 4° termine;
- estremi di una proporzione sono il 1° ed il 4° termine;
- medi di una proporzione sono il 2° ed il 3° termine;
Il quarto termine di una proporzione prende il nome di quarto proporzionale dopo gli altri tre nell’ordine.
Ad esempio nella proporzione:
6:3 = 8:4
i numeri 6, 3, 8, 4 sono i termini e precisamente, nell’ordine: il 1°, il 2°, il 3° e il 4° termine.
- 6 e 8 sono gli antecedenti;
- 3 e 4 sono i conseguenti
- 6 e 4 sono gli estremi;
- 3 e 8 i medi
- 4 è il 4° proporzionale dopo 6, 3 e 8
Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.
Le seguenti proporzioni sono continue:
12:6=6:3
18:12=12:8
In una proporzione continua il termine medio si dice medio proporzionale fra gli estremi; l’ultimo termine si dice terzo proporzionale dopo i primi due. Nella proporzione
a:b = b:c
b è il medio proporzionale fra a e c; c è il terzo proporzionale dopo a e b.
Proprietà fondamentale delle proporzioni
Data la proporzione
12:6=8:4 (1)
cioè
[pmath size=12]12/6=8/4[/pmath]
riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore, assumendo come tale il prodotto 6 x 4 dei loro denominatori. Abbiamo:
[pmath size=12]12*4/6*4 = 8*6/4*6[/pmath] cioè [pmath size=12]12*4/24 = 8*6/24[/pmath]
e poiché due frazioni uguali, aventi uguali denominatori devono avere uguali anche i numeratori, abbiamo dall’ultima uguaglianza:
[pmath size=12]12*4 = 8*6[/pmath] (2)
Si può notare che il primo membro della (2) è il prodotto degli estremi della proporzione (1) e che il secondo membro è il prodotto dei medi. Abbiamo quindi la seguente proprietà, detta anche proprietà fondamentale delle proporzioni:
in ogni proporzione il prodotto dei medi
è uguale al prodotto degli estremi
A titolo di esercizio si considerino le seguenti proporzioni:
[pmath size=12]20:10=6:3[/pmath]
[pmath size=12]20*3=10*6[/pmath]
[pmath size=12]15:10=3:2[/pmath]
[pmath size=12]15*2=10*3[/pmath]
[pmath size=12]a:b=c:d[/pmath]
[pmath size=12]a*d=b*c[/pmath]
La proprietà fondamentale ha la sua inversa:
quattro numeri, dati in un certo ordine, formano una proporzione se il prodotto del primo per il quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo.
Come esempio prendiamo i quattro numeri:
3, 5, 9, 15
poiché abbiamo:
[pmath size=12]3*15=45 e 5*9=45, cioè 3*15=5*9[/pmath]
ne consegue la proporzione:
[pmath size=12]3:5=9:15[/pmath]
Per poter studiare l’elettrotecnica e l’elettronica è indispensabile conoscere alcuni concetti di base di matematica indispensabili per lo svolgimento del corso. Eviterò di fare dimostrazioni matematiche ed alcune nozioni saranno richiamate rapidamente mediante brevi esempi ed esercizi che permetteranno più avanti di affrontare i calcoli che necessitano per la risoluzione di alcuni problemi. Quanto scritto non sostituisce un testo di matematica o di elettrotecnica, ma può essere usato a supporto delle proprie sperimentazioni in laboratori, pertanto ben si adatta allo studente appassionato del primo anno delle superiori oppure a chi per passione si avvicina al mondo dell’elettronica.